Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 38 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=30 cmAB = 30\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB și punctul NN este situat pe latura DD′DD' astfel încât DN=23DD′DN = \dfrac{2}{3}DD'.

Figura 3: cubul ABCDA'B'C'D', cu M mijlocul lui AB și N pe DD', la două treimi din înălțime față de D; sunt trasate DM și MN.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului ABCDABCD este egală cu 900 cm2900\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD este pătrat, deci AABCD=AB2\mathcal{A}_{ABCD} = AB^23 p
  2. AABCD=302=900 cm2\mathcal{A}_{ABCD} = 30^2 = 900\text{ cm}^22 p

b)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul AA la planul (MDN)(MDN) este egală cu 65 cm6\sqrt{5}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ND⊥(ABC)ND \perp (ABC) și AP⊂(ABC)AP \subset (ABC), deci ND⊥APND \perp AP, unde AP⊥DMAP \perp DM, P∈DMP \in DM. Cum ND∩DM={D}ND \cap DM = \{D\}, obținem AP⊥(MDN)AP \perp (MDN), deci d(A,(MDN))=APd(A, (MDN)) = AP2 p
  2. △ADM\triangle ADM este dreptunghic, AM=15 cmAM = 15\text{ cm} și DM=AD2+AM2=155 cmDM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = 15\sqrt{5}\text{ cm}, de unde AP=AD⋅AMDM=65 cmAP = \dfrac{AD \cdot AM}{DM} = 6\sqrt{5}\text{ cm}3 p

c)5 p

Arătați că tangenta unghiului dintre dreapta MNMN și planul (ADD′)(ADD') este egală cu 31326\dfrac{3\sqrt{13}}{26}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MA⊥(ADD′)MA \perp (ADD'), deci unghiul dintre MNMN și planul (ADD′)(ADD') este ∠MNA\angle MNA. Cum MA⊥ANMA \perp AN, obținem tan⁡(∠MNA)=AMAN\tan(\angle MNA) = \dfrac{AM}{AN}3 p
  2. DN=20 cmDN = 20\text{ cm}, AD=30 cmAD = 30\text{ cm}, deci AN=1013 cmAN = 10\sqrt{13}\text{ cm} și tan⁡(∠MNA)=31326\tan(\angle MNA) = \dfrac{3\sqrt{13}}{26}2 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 38 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât ABAB este diametru. Dreptele CDCD și ABAB sunt paralele, semidreapta ACAC este bisectoarea unghiului BADBAD și CD=16 cmCD = 16\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=32x+3f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3.

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.
Rezolvă →

Arii și perimetre în planDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).