Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 38 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un romb ABCDABCD cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BD=6 cmBD = 6\text{ cm}. Punctele MM și NN sunt mijloacele laturilor ABAB, respectiv CDCD.

Figura 2: rombul ABCD, cu AB și CD orizontale; M este mijlocul lui AB și N mijlocul lui CD; sunt trasate DM, DB și BN.

a)5 p

Arătați că lungimea segmentului ACAC este egală cu 63 cm6\sqrt{3}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCDABCD este romb, deci OO este mijlocul segmentelor ACAC și BDBD, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD2 p
  2. AB=AD=BDAB = AD = BD, deci △ABD\triangle ABD este echilateral, de unde AO=33 cmAO = 3\sqrt{3}\text{ cm} și AC=2AO=63 cmAC = 2AO = 6\sqrt{3}\text{ cm}3 p

b)5 p

Demonstrați că segmentele BDBD și MNMN sunt congruente.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. △ABD\triangle ABD este echilateral și MM este mijlocul segmentului ABAB, deci DM⊥ABDM \perp AB și BM=AB2BM = \dfrac{AB}{2}2 p
  2. NN este mijlocul segmentului CDCD, deci DN=CD2DN = \dfrac{CD}{2} și, cum AB∥CDAB \parallel CD și AB=CDAB = CD, obținem BM∥DNBM \parallel DN, BM=DNBM = DN și DM⊥MBDM \perp MB. Rezultă că BNDMBNDM este dreptunghi, deci segmentele BDBD și MNMN sunt congruente3 p

c)5 p

Știind că aria triunghiului BNCBNC reprezintă p%p\% din aria triunghiului ABEABE, unde EE este punctul de intersecție a dreptelor ADAD și BNBN, determinați numărul natural pp.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2525

Barem oficial

  1. DN∥AB⇒△EDN∼△EABDN \parallel AB \Rightarrow \triangle EDN \sim \triangle EAB și, cum DN=AB2DN = \dfrac{AB}{2}, obținem BE=2BNBE = 2BN2 p
  2. A△BNC=BN⋅NC2=14BN⋅AB\mathcal{A}_{\triangle BNC} = \dfrac{BN \cdot NC}{2} = \dfrac{1}{4}BN \cdot AB și A△ABE=AB⋅BE2=AB⋅BN\mathcal{A}_{\triangle ABE} = \dfrac{AB \cdot BE}{2} = AB \cdot BN, deci A△BNC=14A△ABE\mathcal{A}_{\triangle BNC} = \dfrac{1}{4}\mathcal{A}_{\triangle ABE}. Cum A△BNC=p100A△ABE\mathcal{A}_{\triangle BNC} = \dfrac{p}{100}\mathcal{A}_{\triangle ABE}, obținem p=25p = 253 p

Toate exercițiile din EN 2020, Test 38 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereRelații metrice în triunghiul dreptunghicLinii importante în triunghiArii și perimetre în planTeorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).