Evaluare Națională 2021 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

Se consideră paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ , $BC = 6\text{ cm}$ și măsura unghiului $D'CA'$ egală cu $30^\circ$ .

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu triunghiul A'D'C trasat.

a)2 p

Arată că $DD' = 6\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$A'D' \perp (C'D'D)$ , $D'C \subset (C'D'D)$ , deci triunghiul $A'D'C$ este dreptunghic în $D'$ și, cum $\angle A'CD' = 30^\circ$ , obținem $A'C = 12\text{ cm}$ 1 p
$D'C = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ , deci $DD' = \sqrt{12^2 - \left(6\sqrt{3}\right)^2} = 6\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A'D'C)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $2\sqrt{6}\text{ cm}$

Barem oficial

$D'A' \perp A'B'$ , $D'A' \perp AA'$ , $A'B' \cap AA' = \{A'\}$ , deci $D'A' \perp (A'AB)$ 1 p
$AM \perp A'B$ , unde $M \in A'B$ , $A'D' \perp AM$ și $A'D' \cap A'B = \{A'\}$ , deci $AM \perp (A'D'C)$ , de unde rezultă $d(A, (A'D'C)) = AM$ 1 p
Triunghiul $A'AB$ dreptunghic în $A$ , deci $A'B = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AM = \dfrac{AA' \cdot AB}{A'B} = 2\sqrt{6}\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2021, subiect de rezervă (Varianta 2) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Paralelism și perpendicularitate în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Distanțe în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).