Evaluare Națională 2025 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Dreptele ACAC și BDBD se intersectează în punctul OO, iar dreptele A′BA'B și AB′AB' se intersectează în punctul EE. Punctul FF este mijlocul segmentului CC′CC'.

Cubul ABCDA'B'C'D'; O este centrul bazei ABCD, E centrul feței ABB'A', F mijlocul muchiei CC'.

a)2 p

Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' este egal cu 512 cm3512\text{ cm}^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VABCDA′B′C′D′=AB3=V_{ABCDA'B'C'D'} = AB^3 =1 p
  2. =83=512 cm3= 8^3 = 512\text{ cm}^31 p

b)3 p

Demonstrează că dreptele FOFO și DEDE sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. FOFO este linie mijlocie în triunghiul ACC′⇒FO∥AC′ACC' \Rightarrow FO \parallel AC', deci ∠(FO,DE)=∠(AC′,DE)\angle(FO, DE) = \angle(AC', DE)1 p
  2. AB′∥DC′AB' \parallel DC', deci △AQE∼△C′QD⇒AQC′Q=QEQD=AEC′D=12\triangle AQE \sim \triangle C'QD \Rightarrow \dfrac{AQ}{C'Q} = \dfrac{QE}{QD} = \dfrac{AE}{C'D} = \dfrac{1}{2}, unde {Q}=DE∩AC′\{Q\} = DE \cap AC', de unde obținem QD=23⋅DEQD = \dfrac{2}{3} \cdot DE și C′Q=23⋅C′AC'Q = \dfrac{2}{3} \cdot C'A1 p
  3. DE=46 cmDE = 4\sqrt{6}\text{ cm}, C′A=83 cm⇒QD=863 cmC'A = 8\sqrt{3}\text{ cm} \Rightarrow QD = \dfrac{8\sqrt{6}}{3}\text{ cm}, C′Q=1633 cmC'Q = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}\text{ cm} și, cum C′D=82 cmC'D = 8\sqrt{2}\text{ cm} și QD2+C′Q2=128=C′D2⇒∠DQC′=90∘QD^2 + C'Q^2 = 128 = C'D^2 \Rightarrow \angle DQC' = 90^\circ, obținem că ∠(FO,DE)=90∘\angle(FO, DE) = 90^\circ, deci dreptele FOFO și DEDE sunt perpendiculare1 p

Toate exercițiile din EN 2025, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorUnghiuri în spațiuTeorema lui Thales și asemănareaRelații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).