Evaluare Națională 2018 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD cu AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și VO=63 cmVO = 6\sqrt{3}\text{ cm}, unde {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD. Punctul MM este situat pe înălțimea VOVO astfel încât OM=13VOOM = \dfrac{1}{3}VO.

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD cu înălțimea VO și punctul M pe VO; segmentele MB și MC trasate.

a)5 p

Arătați că volumul piramidei VABCDVABCD este egal cu 2883 cm3288\sqrt{3}\text{ cm}^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AABCD=AB2=144 cm2\mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 = 144\text{ cm}^22 p
  2. VVABCD=13⋅VO⋅AABCD=13⋅63⋅144=2883 cm3V_{VABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot VO \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 144 = 288\sqrt{3}\text{ cm}^33 p

b)5 p

Determinați aria triunghiului MBCMBC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 243 cm224\sqrt{3}\text{ cm}^2

Barem oficial

  1. MO⊥(ABC)MO \perp (ABC), ON⊥BCON \perp BC, BC⊂(ABC)⇒MN⊥BCBC \subset (ABC) \Rightarrow MN \perp BC, unde NN este mijlocul laturii BCBC, și, cum OM=23 cmOM = 2\sqrt{3}\text{ cm}, obținem MN=MO2+ON2=43 cmMN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}3 p
  2. A△MBC=BC⋅MN2=12⋅432=243 cm2\mathcal{A}_{\triangle MBC} = \dfrac{BC \cdot MN}{2} = \dfrac{12 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^22 p

c)5 p

Calculați măsura unghiului determinat de planele (MBC)(MBC) și (VBC)(VBC).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 30∘30^\circ

Barem oficial

  1. Cum (MBC)∩(VBC)=BC(MBC) \cap (VBC) = BC, MN⊥BCMN \perp BC, MN⊂(MBC)MN \subset (MBC) și VN⊥BCVN \perp BC, VN⊂(VBC)VN \subset (VBC), obținem m(∠((MBC),(VBC)))=m(∠(MN,VN))=m(∠MNV)m(\angle((MBC), (VBC))) = m(\angle(MN, VN)) = m(\angle MNV)2 p
  2. △VON\triangle VON dreptunghic, m(∠OVN)=30∘m(\angle OVN) = 30^\circ, VM=MN=43 cm⇒m(∠MNV)=m(∠OVN)=30∘VM = MN = 4\sqrt{3}\text{ cm} \Rightarrow m(\angle MNV) = m(\angle OVN) = 30^\circ3 p

Toate exercițiile din EN 2018, subiect de rezervă (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorDistanțe în spațiuParalelism și perpendicularitate în spațiuArii și perimetre în planUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).