Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 33 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $OA=4\sqrt3\text{ cm}$ . Segmentul $BQ$ este diametru în cercul de centru $O$ și rază $OA$ , iar $M$ este punctul de intersecție a dreptei $BQ$ cu tangenta la cerc în punctul $A$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC înscris în cerc, diametrul BQ și tangenta AM; punctele B,O,Q,M sunt coliniare.

a)5 p

Arătați că aria cercului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu $48\pi\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal A=\pi OA^2$ 3 p
$\mathcal A=\pi(4\sqrt3)^2=48\pi\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Arătați că $AQ=4\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BQ$ este diametru, deci $BQ=8\sqrt3\text{ cm}$ și $m(\angle BAQ)=90^\circ$ 2 p
$ABC$ este echilateral, deci $AB=OA\sqrt3=12\text{ cm}$ . Atunci $AQ=\sqrt{BQ^2-AB^2}=4\sqrt3\text{ cm}$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că patrulaterul $ABCM$ este romb.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$m(\angle BAO)=30^\circ$ și $OA\perp AM$ , deci $m(\angle BAM)=120^\circ$ . Cum $m(\angle ABO)=30^\circ$ , rezultă $m(\angle AMB)=30^\circ$ , deci triunghiul $ABM$ este isoscel2 p
$OA\perp AM$ și $AO\perp BC$ , deci $AM\parallel BC$ . Cum $AM=AB=BC$ , obținem că $ABCM$ este romb3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 33 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru cercul · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.

Rezolvă →

Cercul Triunghiul: proprietăți și congruență Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Patrulatere Unghiuri

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).