Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 33 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră VABCDVABCD cu baza pătratul ABCDABCD, AB=8 cmAB=8\text{ cm} și VA=VB=VC=VD=8 cmVA=VB=VC=VD=8\text{ cm}. Punctul OO este intersecția dreptelor ACAC și BDBD.

Figura 3: piramida patrulateră VABCD cu centrul O al bazei și muchiile laterale egale cu latura bazei.

a)5 p

Arătați că perimetrul pătratului ABCDABCD este egal cu 32 cm32\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=4ABP_{ABCD}=4AB3 p
  2. PABCD=4⋅8=32 cmP_{ABCD}=4\cdot8=32\text{ cm}2 p

b)5 p

Arătați că distanța de la punctul VV la planul (ABC)(ABC) este egală cu AC2\dfrac{AC}{2}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VOVO este mediană în triunghiurile isoscele VACVAC și VBDVBD, deci VO⊥ACVO\perp AC și VO⊥BDVO\perp BD. Rezultă VO⊥(ABC)VO\perp(ABC), deci distanța este VOVO3 p
  2. În triunghiul dreptunghic VOAVOA, VA=8VA=8 și OA=42OA=4\sqrt2, deci VO=64−32=42=AC/2VO=\sqrt{64-32}=4\sqrt2=AC/22 p

c)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta BMBM și planul (VDM)(VDM), unde punctul MM este simetricul punctului BB față de punctul CC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 30∘30^\circ

Barem oficial

  1. CV=CB=CMCV=CB=CM, deci triunghiul VBMVBM este dreptunghic și VB⊥VMVB\perp VM. Din OB=OD=OVOB=OD=OV, rezultă VB⊥VDVB\perp VD. Astfel BV⊥(VDM)BV\perp(VDM) și unghiul cerut este ∠BMV\angle BMV3 p
  2. Triunghiul VBMVBM este dreptunghic în VV și m(∠VBM)=60∘m(\angle VBM)=60^\circ, deci m(∠BMV)=30∘m(\angle BMV)=30^\circ2 p

· Toate exercițiile din EN 2020, Test 33 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriPatrulatereDistanțe în spațiuParalelism și perpendicularitate în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).