Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 34 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8\text{ cm}$ , $BC=12\text{ cm}$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ , dreapta $MN$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$ și $MN=6\text{ cm}$ .

Figura 3: dreptunghiul ABCD, cu centrul O, M mijlocul lui AD și MN perpendiculară pe planul bazei; sunt trasate NA și NC.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $96\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal A_{ABCD}=AB\cdot BC$ 3 p
$8\cdot12=96\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $MO$ este paralelă cu planul $(NCD)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$O$ este mijlocul lui $AC$ și $M$ mijlocul lui $AD$ , deci $MO$ este linie mijlocie în triunghiul $ADC$ 2 p
$MO\parallel DC$ și $DC\subset(NDC)$ , deci $MO\parallel(NDC)$ 3 p

c)5 p

Se consideră punctul $P$ , mijlocul laturii $BC$ . Demonstrați că distanța de la punctul $P$ la dreapta $AN$ este mai mare decât $9\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM=BP$ și $AM\parallel BP$ , deci $PM\perp AD$ . Cum $MN\perp(ABC)$ , avem $PM\perp MN$ , de unde $PM\perp(NAD)$ 2 p
Cu $MQ\perp AN$ și $Q\in AN$ , din $PM\perp(NAD)$ rezultă $PQ\perp AN$ , deci $d(P,AN)=PQ$ 1 p
$MQ=AM\cdot MN/AN=3\sqrt2\text{ cm}$ , deci $PQ=\sqrt{PM^2+MQ^2}=\sqrt{82}>\sqrt{81}=9\text{ cm}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 34 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru paralelism și perpendicularitate în spațiu · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiu Patrulatere Arii și perimetre în plan Linii importante în triunghi Distanțe în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).