Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 35 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral ABCABC cu AB=16 cmAB=16\text{ cm} și AD⊥BCAD\perp BC, D∈BCD\in BC. Punctele MM și NN sunt mijloacele segmentelor DCDC și ADAD, iar punctul EE este proiecția punctului DD pe dreapta ACAC.

Figura 2: triunghiul echilateral ABC, înălțimea AD, M mijlocul lui DC, N mijlocul lui AD și E piciorul perpendicularei din D pe AC; sunt trasate ME și NE.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului ABCABC este egal cu 48 cm48\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. ABCABC este echilateral, deci PABC=3ABP_{ABC}=3AB3 p
  2. PABC=3⋅16=48 cmP_{ABC}=3\cdot16=48\text{ cm}2 p

b)5 p

Demonstrați că dreptele MEME și NENE sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. În triunghiul dreptunghic AEDAED, NN este mijlocul ipotenuzei, deci NA=NE=NDNA=NE=ND. În triunghiul dreptunghic DECDEC, MM este mijlocul ipotenuzei, deci MD=ME=MCMD=ME=MC2 p
  2. ND=NEND=NE, MD=MEMD=ME și MNMN este comună, deci triunghiurile NDMNDM și NEMNEM sunt congruente. Cum ∠NDM=90∘\angle NDM=90^\circ, și ∠NEM=90∘\angle NEM=90^\circ, deci ME⊥NEME\perp NE3 p

c)5 p

Calculați aria patrulaterului BDNFBDNF, unde FF este punctul de intersecție a dreptelor ENEN și ABAB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 263 cm226\sqrt3\text{ cm}^2

Barem oficial

  1. ANEANE este isoscel și ∠EAN=30∘\angle EAN=30^\circ, deci ∠AEN=30∘\angle AEN=30^\circ. Cum ∠EAF=60∘\angle EAF=60^\circ, rezultă ∠AFE=90∘\angle AFE=90^\circ. În triunghiul dreptunghic AFNAFN, AN=43AN=4\sqrt3 și ∠NAF=30∘\angle NAF=30^\circ, deci NF=23NF=2\sqrt3 și AF=6AF=63 p
  2. ABDNF=AABD−AAFN=8⋅832−6⋅232=263 cm2\mathcal A_{BDNF}=\mathcal A_{ABD}-\mathcal A_{AFN}=\dfrac{8\cdot8\sqrt3}{2}-\dfrac{6\cdot2\sqrt3}{2}=26\sqrt3\text{ cm}^22 p

· · Toate exercițiile din EN 2020, Test 35 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât ABAB este diametru. Dreptele CDCD și ABAB sunt paralele, semidreapta ACAC este bisectoarea unghiului BADBAD și CD=16 cmCD = 16\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABCABC, cu AB=ACAB = AC. Punctul OO este mijlocul laturii BCBC, iar punctele AA și DD sunt de o parte și de alta a dreptei BCBC, astfel încât ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^\circ și ∠BCD=60∘\angle BCD = 60^\circ.

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.
Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′ABCA'B'C', cu baza triunghiul echilateral ABCABC, AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și AA′=33 cmAA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}.

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.
Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruențăLinii importante în triunghiRelații metrice în triunghiul dreptunghicArii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).