Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 35 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ , $AB=20\text{ cm}$ , $VA=20\text{ cm}$ și $VO\perp(ABC)$ , unde $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $VO$ și $OC$ .

Figura 3: piramida patrulateră VABCD cu înălțimea VO, M mijlocul lui VO și N mijlocul lui OC.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $400\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ este pătrat, deci $\mathcal A_{ABCD}=AB^2$ 3 p
$20^2=400\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dreptelor $MN$ și $VA$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $90^\circ$

Barem oficial

$MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VOC$ , deci $MN\parallel VC$ și unghiul cerut este cel dintre $VC$ și $VA$ 3 p
Triunghiurile $VOA$ și $VOC$ sunt congruente, deci $VA=VC=20$ . Cum $AC=20\sqrt2$ , avem $AC^2=VA^2+VC^2$ , deci $\angle AVC=90^\circ$ 2 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $(VBC)$ este egală cu $\dfrac{5\sqrt6}{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Fie $P$ mijlocul lui $BC$ . Din $VO\perp(ABC)$ și $OP\perp BC$ , rezultă $VP\perp BC$ , deci $BC\perp(VOP)$ . Cu $Q\in VP$ și $MQ\perp VP$ , avem $BC\perp MQ$ 2 p
$MQ\perp VP$ și $MQ\perp BC$ , deci $MQ\perp(VBC)$ și distanța este $MQ$ . Cum $VO=10\sqrt2$ , $VP=10\sqrt3$ și $\triangle VMQ\sim\triangle VPO$ , rezultă $VM/VP=MQ/PO$ , de unde $MQ=5\sqrt6/3\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 35 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Patrulatere Arii și perimetre în plan Unghiuri în spațiu Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).