Evaluare Națională 2023 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale $ABC$ și $CDE$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ , $CD = 4\text{ cm}$ , iar punctele $B$ , $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ , respectiv $DE$ .

Triunghiurile echilaterale ABC (mare) și CDE (mic), alăturate pe dreapta BD; M mijlocul lui AB, N mijlocul lui DE; sunt trasate CM, CN, MN și AD.

a)2 p

Arată că $CM = 2 \cdot CN$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CM$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC \Rightarrow CM = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$CN$ este înălțime în triunghiul echilateral $CDE \Rightarrow CN = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , deci $CM = 2 \cdot CN$ 1 p

b)3 p

Aria triunghiului $MCN$ reprezintă $p\%$ din aria triunghiului $ACD$ . Determină valoarea lui $p$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p = 75$

Barem oficial

$CM$ și $CN$ sunt bisectoare în triunghiurile echilaterale $ABC$ , respectiv $CDE$ , deci $\angle BCM = \angle DCN = 30^\circ$ , de unde obținem $\angle MCN = 120^\circ$ 1 p
$\angle ACD = 120^\circ$ , deci $\angle MCN \equiv \angle ACD$ și, cum $\dfrac{CM}{AC} = \dfrac{CN}{CD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \triangle MCN \sim \triangle ACD$ 1 p
$\dfrac{\mathcal{A}_{MCN}}{\mathcal{A}_{ACD}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\% \Rightarrow p = 75$ 1 p

Toate exercițiile din EN 2023, subiect de rezervă (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Poligoane regulate înscrise în cerc Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Arii și perimetre în plan Procente

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).